三項間におけるシグマ関連公式　～新公式発見に挑戦! ～

（2019年3月掲載）

山口県立岩国高校理数科の皆さん

左から　森本竜成くん、 高木望波さん、 武林悠天くん、 森岡大喜くん(全員2年生)

プログラミングを使うことで、手ごわい数式がぐっと身近に!

数学Bの「目玉」の一つが「数列」です。この数列の和を求めるシグマ(以下、Σ)の計算は、センター試験をはじめ毎年多くの大学入試でも出題されますが、実はけっこう苦手にしている人も多いのではないでしようか。

Σ にはいろいろな公式がありますが、高校数学の教科書に載っているのは、Σk、Σk²、Σk³までで、2項間の関係のものだけです。

岩国高校理数科の皆さんは、「課題研究」の授業のテーマとして、プログラミングを使ってこの手ごわい Σ の公式に取り組み、Σk⁷まで用いた3項間の関係を表す新しい公式を発見しました。研究を始めた時には、まだ数学でΣについては学んでおらず、しかも全員がプログラミングはほぼ初心者だったので、プログラムの書き方を勉強しながらのチャレンジだったそうです。

3項間の関係を表す公式を作る手順

この研究に取り組んだ皆さんに聞きました。

■皆さんの研究について教えてください。

私たちは、3項間におけるΣの関連公式(→あるΣkⁿ を2つの異なるΣk^l とΣk^m を用いて表す)の発見に挑戦しました。見つける方法として、

　a₁(Σk^p)^b1 + a₂(Σk^q)^b2 + a₃(Σk^r)^b3　=0…(1)

を満たすa₁～a₃、b₁～b₃が存在したらエクセルのセル上に表示し、存在しない時は表示されないようなプログラムを作成しました。そうして出てきたa₁～a₃、b₁～b₃、およびp、q、rを(1)に代入して、それが本当に成立するか否かを自分たちで計算して、3つの公式を発見しました。これらの3項間にの公式は、規則性がほとんどないということがわかりました。

従来の公式は (Σk)² ＝Σk³ のような2項間もののみでしたが、私たちの研究では、2項間のものと関連公式を組み合わせて、全ての自然数で成り立つ別の関連式を導き出そうとしました。

Σkの式をたくさん使うので、自分たちだけの力では計算も限界があるため、プログラミングを使って行いました。Σの式はただでさえ複雑な上にプログラミングも難しいので、100%それらを理解するよりは、全体像を理解していただけたら嬉しいです。

■今回発表した研究を始めた理由や経緯を教えてください。

もともと数学の研究がしたかったのですが、指導してくださった先生が昨年の課題研究について説明をしてくださった時、公式発見をしてはどうかと提案され、興味を持ちました。当初私たちの中では、図形の性質について研究したいのと、公式関係で何らかの研究がしたいという二つの意見がありましたが、先生から提案をいただいて、自分たちの手で発見するということに魅力を感じてこの研究を始めました。

■今回の研究にかかった時間はどのくらいですか。

授業の中で行ったので、正味5か月です。昨年の5月から始めて、成果がまとまったのは今年1月でした。

■今回の研究ではどんなことに苦労しましたか。

全員がプログラミングについて何も知らない状態から始めたので、まずプログラミングを理解して慣れるのに苦労しました。また、Σkⁿ の公式を Σk^n-1 の公式から導き、それを用いて3項間の関連公式が本当に成り立つかを手計算で証明するのもたいへんでした。

■「ココは工夫した!」「ココを見てほしい」という点を教えてください。

(1)の式の3つの項のΣの係数a₁、 a₂、 a₃ について、k＝1の時は、Σkⁿ ＝Σk^m ＝Σk^l ＝1となるので、a₁＋a₂＋a ₃＝0 は必ず成り立ちます。そのため、プログラム上でa₁＋a₂＋a ₃＝0

以外の場合は表示させないようにしました。これによって処理が速くなり、大きい数でも処理できるようになりました。

■今回のポスター発表の感想をどうぞ!

・話が専門的なので、初見で何をやっているのかも理解してもらえず、研究の成果を伝える

　のが難しかったです。聞いている人全員に理解してもらうために、研究の内容と家庭を丁寧

　に説明できれば良かったと思いました。でも、口頭発表とは違った方法で発表できて良い

　経験になったと思います。(森本くん)

・すごく緊張しましたが、自分たちの研究を人の前で話すことは大学に入ってからもあると

　思うので、それをこの時期に経験できたことはよかったなと思います。今後も、受験勉強を

　しつつ、今回の研究をより発展させていけたらいいなと思います。(森岡くん)

・すごく緊張してしまって、説明もうまくできず、「良くわからない」という人がいて申し

　訳なかったです。指導してくださった先生に「これはいい」と言ってもらえたのに、もっと

　多くの人にわかってもらえるように説明したかったです。でも、他校の先生に「頑張った

　ね」「すごいね」とほめてもらえたのは嬉しかったです!　(高木さん)

この研究に取り組んだ皆さんは、プログラミングはほとんど初心者で、プログラムのコードの書き方から学んだり調べたりしながら研究を進めたそうです。その中で工夫を重ねことによって、教科書の範囲をはるかに超えて、新しい公式を発見するというすばらしい成果を挙げることができました。プログラミングで何かを作り出したり発見したりすることは、初心者か上級者かに関係なくできることを教えてくれる取り組みでした。